Question

已知，其中是常数．

（1）若是奇函数，求的值；

（2）求证：的图像上不存在两点A、B，使得直线AB平行于轴．

Answer

(1)；(2)证明见解析．

【解析】

试题分析：(1)奇函数的问题，可以根据奇函数的定义，利用来解决，由于本题中有对数符号，有根式，因此根据求出后，最好能再求出函数的定义域，验证下它是奇函数；(2)要证明函数的图像上不存在两点A、B，使得直线AB平行于轴，即方程不可能有两个或以上的解，最多只有一个解，由于表达式不太简便，因此我们可以从简单的方面入手试试看，看是不是单调函数，本题函数正好能根据单调性的定义证明此函数是单调函数，故本题结论得证．

试题解析：（1）解法一：设定义域为,则：

因为是奇函数，所以对任意，有，    3分

得.                         5分

此时，，，为奇函数。                 6分

解法二：当时，函数的定义域不关于原点对称，函数不是奇函数.    2分

当时，函数的定义域是一切实数.                    3分

要使得函数是奇函数，则对成立。               5分

所以                                6分

（2）设定义域内任意，设

                  9分

当时，总有，

，得；            11分

当时，

，得。

故总有在定义域上单调递增                      13分

的图像上不存在两点，使得所连的直线与轴平行               14分

考点：(1)函数的奇偶性；(2)函数的单调性与方程的解．