Question

如图，制图工程师要用两个同中心的边长均为4的正方形合成一个八角形图形．由对称性，图中8个三角形都是全等的三角形，设．

（1）试用表示的面积；

（2）求八角形所覆盖面积的最大值，并指出此时的大小．

Answer

(1) ；(2) 时面积的最大值为．

【解析】

试题分析：(1)要求的面积，关键是求出两直角边长，因此我们要把这两直角边与正方形的边长联系起来，由已知，，从而直的三边长之和为正方形的边长4，所以的边长可以用表示，也就求出了它的面积；(2) 由(1)，要求这个式子的最大值，我们要用换元法变形，这里我们设，则，于是就变为的代数函数，不能忘记的是的范围是，时取最大值．

试题解析：（1）设为,∴，

，              3分

,，    7分

（2）令，                     9分

只需考虑取到最大值的情况，即为，   11分

当, 即时, 达到最大                          13分

此时八角形所覆盖面积的最大值为 ．           14分

考点：(1)方程与三角形面积；(2)换元法与三角函数的最大值．