Question

已知函数（其中是实数常数，）

（1）若，函数的图像关于点（—1，3）成中心对称，求的值；

（2）若函数满足条件（1），且对任意，总有，求的取值范围；

（3）若b=0，函数是奇函数，，，且对任意时，不等式恒成立，求负实数的取值范围．

Answer

（1）；（2）；（3）.

【解析】

试题分析：(1)由于，，这种类型的函数我们易联想到函数的平移变换，如向右平移个单位，再向上平移个单位，得函数的图象，且函数的图象的对称中心就是，因此我们只要把转化为的形式，即，就能得出结论；（2）由(1)知，，问题是当时，函数的值域，可分类讨论，当时，，而当时，函数具有单调性，由此可很快求出函数的最值，求出的取值范围；（3）由于，中还有三个参数，正好题中有三个条件，我们可先求出，然后才能把不等式化为，由于，因此此分式不等式可以两边同乘以直接去分母化为整式不等式，，从而可以分离参数得，也即，下面我们只要求出的最小值即可.

试题解析：(1)，

．

类比函数的图像，可知函数的图像的对称中心是．

又函数的图像的对称中心是，

(2)由(1)知，．

依据题意，对任意，恒有．

若，则，符合题意．

若，当时，对任意，恒有，不符合题意．

所以，函数在上是单调递减函数，且满足．

因此，当且仅当，即时符合题意．

综上，所求实数的范围是．

(3)依据题设，有解得

于是，．

由，解得．

因此，．

考察函数，可知该函数在是增函数，故．

所以，所求负实数的取值范围是．

考点：（1）图象变换；（2）函数的最值；（3）分式不等式与分离参数法求参数取值范围.