Question

已知数列，满足，，

（1）求的值；

（2）猜想数列 的通项公式，并用数学归纳法证明；

（3）己知，设，记，求．

Answer

（1）；；（2），证明见解析；（3）3．.

【解析】

试题分析：（1）这属于已知数列的递推关系式，求数列的项的问题，我们只要在已知递推关系式中依次令就可以依次求出；（2）用归纳法归纳数列的通项公式，我们可以由数列的前几项想象各项与项数之间的联系，如，，，，从而归纳出结论，然后数学归纳法证明，这里数学归纳法的基础即第一步已经不需另证了，关键是第二步，假设时，，然后由已知条件求出，那么结论就是正确的；（3）按常规方法，先求，，接着求数列的前项和，根据其通项公式的形式（它是一个等差数列所一个等比数列对应项相乘所得），求和用乘公比经错位相减法，求得，然后借助已知极限可求出极限.

试题解析：(1)，

∴．

，分别令，可得

，

(2)猜想数列的通项公式为.用数学归纳法证明如下：

证明 (i)当时，由(1)知结论成立；当时，,结论成立.

(ii)假设时，结论成立，即.

当时，

.

所以，，即时，结论也成立.

根据(i)和(ii)可以断定，结论对一切正整数都成立.

 (3)由(2)知，，． 于是，

，

．

所以，．

考点：（1）数列的项；（2）数学归纳法；（3）借位相减法，极限.