Question

已知数列，满足，，

（1）已知，求数列所满足的通项公式；

（2）求数列 的通项公式；

（3）己知，设＝，常数,若数列是等差数列，记，求.

Answer

（1）；（2）；（3）.

【解析】

试题分析：（1）这属于数列的综合问题，我们只能从已知条件出发进行推理，以向结论靠拢，由已知可得，从而当时有结论

，很幸运，此式左边正好是，则此我们得到了数列的相邻两项的差，那么为了求，可以采取累加的方法（也可引进新数列）求得，注意这里有，对要另外求得；（2）有了第（1）小题，那么求就方便多了，因为，这里不再累赘不；（3）在（2）基础上有，我们只有求出才能求出，这里可利用等差数列的性质，其通项公式为的一次函数（当然也可用等差数列的定义）求出，从而得到，那么和的求法大家应该知道是乘公比错位相减法，借助已知极限可求出极限.

试题解析：(1)，

．

当时，有．

又，，

．

数列的递推公式是.

于是，有．

∴.

（说明：这里也可利用，依据递推，得

）

由（1）得，

又，可求得．

当时，，符合公式．

数列的通项公式．

 (3)由(2)知，，．又是等差数列，

因此，当且仅当是关于的一次函数或常值函数，即()．

于是，，

，

．

所以，．

考点：（1）数列综合题与通项公式；（2）数列通项公式；（3）等差数列的性质，借位相减法，极限.