Question

设a,b为正实数.现有下列命题:

①若a²-b²=1,则a-b<1;

②若-=1,则a-b<1;

③若|-|=1,则|a-b|<1;

④若|a³-b³|=1,则|a-b|<1.

其中的真命题有　　　　.(写出所有真命题的编号)

Answer

①④

【解析】①中,若a,b都小于1,则a-b<1;

若a,b中至少有一个大于等于1,则a+b>1,

由a2-b2=(a+b)(a-b)=1,

所以a-b<1,故①正确.

②中-==1,只需a-b=ab即可,

取a=2,b=满足上式但a-b=>1,故②错;

③中,|a-b|=|(-)(+)|=|+|>|-|=1,故③错;

④中,对于|a3-b3|=|(a-b)(a2+ab+b2)|=1,

若a,b中至少有一个大于等于1,

则a2+ab+b2>1,则|a-b|<1,

若a,b都小于1,则|a-b|<1,所以④正确.

综上,真命题有①④.