设函数f(x)=xn+bx+c(n∈N+,b,c∈R). (1)设n≥2,b=1...

设函数f(x)=xⁿ+bx+c(n∈N₊,b,c∈R).

(1)设n≥2,b=1,c=-1,证明:f(x)在区间(,1)内存在唯一零点;

(2)设n为偶数,|f(-1)|≤1,|f(1)|≤1,求b+3c的最小值和最大值;

(3)设n=2,若对任意x₁,x₂∈[-1,1],有|f(x₁)-f(x₂)|≤4,求b的取值范围.

(1)见解析 (2)最小值为-6,最大值为0. (3)-2≤b≤2 【解析】解:(1)当b=1,c=-1,n≥2时,f(x)=xn+x-1, ∵ff(1)=×1<0, ∴f(x)在(,1)内存在零点. 又∵当x∈(,1)时,f′(x)=nxn-1+1>0, ∴f(x)在区间(,1)内单调递增, ∴f(x)在(,1)内存在唯一的零点. (2)依题意知 ∴. 画出可行域可知b+3c在点(0,-2)处取得最小值-6.在点(0,0)处取得最大值0,因而b+3c的最小值为-6,最大值为0. (3)当n=2时,f(x)=x2+bx+c, 对任意x1,x2∈[-1,1]都有|f(x1)-f(x2)|≤4等价于f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值之差M≤4,据此分类讨论如下: 若>1,即|b|>2时, M=|f(1)-f(-1)|=2|b|>4与题设矛盾. 若-1≤-<0,即0

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考点分析：

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