Question

对于E={a₁,a₂,…,a₁₀₀}的子集X=,定义X的“特征数列”为x₁,x₂…,x₁₀₀,其中==…==1.其余项均为0,例如:子集{a₂,a₃}的“特征数列”为0,1,1,0,0,…,0.

(1)子集{a₁,a₃,a₅}的“特征数列”的前3项和等于　　　　;

(2)若E的子集P的“特征数列”p₁,p₂,…,p₁₀₀满足p₁=1,p_i+p_i+1=1,1≤i≤99;E的子集Q的“特征数列”q₁,q₂,…,q₁₀₀满足q₁=1,q_j+q_j+1+q_j+2=1,1≤j≤98,则P∩Q的元素个数为　　　　.

Answer

(1)2 (2)17

【解析】(1)根据定义,子集{a1,a3,a5}的“特征数列”为1,0,1,0,1,0,0,…,0,共有3个1,其余全为0,该数列前3项和为2.

(2)E的子集P的“特征数列”p1,p2,…,p100中,由于p1=1,pi+pi+1=1(1≤i≤99),因此集合P中必含有元素a1.

又当i=1时,p1+p2=1,且p1=1,故p2=0.

同理可求得p3=1,p4=0,p5=1,p6=0,….

故E的子集P的“特征数列”为1,0,1,0,1,0,1,0,…,1,0,

即P={a1,a3,a5,a7,…,a99}.

用同样的方法求出Q={a1,a4,a7,a10,…,a100}.

因为1+3(n-1)=100,所以集合Q中有34个元素,下标是奇数的项有17个,

即P∩Q={a1,a7,a13,a19,…,a97},共有17个元素.