Question

如图,直线AB为圆的切线,切点为B,点C在圆上,∠ABC的角平分线BE交圆于点E,DB垂直BE交圆于点D.

(1)证明:DB=DC;

(2)设圆的半径为1,BC=,延长CE交AB于点F,求△BCF外接圆的半径.

Answer

(1)见解析   (2)

【解析】

(1)证明:连接DE,交BC于点G.

由弦切角定理得,

∠ABE=∠BCE.

而∠ABE=∠CBE,

故∠CBE=∠BCE,BE=CE.

又DB⊥BE,

所以DE为直径,

则∠DCE=90°,

由勾股定理可得DB=DC.

(2)解:由(1)知,∠CDE=∠BDE,DB=DC,

故DG是BC的中垂线,

所以BG=.

设DE的中点为O,连接BO,

则∠BOG=60°.

从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°,

所以CF⊥BF,

故Rt△BCF外接圆的半径等于.