Question

如图所示,AB为☉O直径,直线CD与☉O相切于E,AD垂直CD于D,BC垂直CD于C,EF垂直AB于F,连接AE,BE.证明:

(1)∠FEB=∠CEB;

(2)EF²=AD·BC.

Answer

见解析

【解析】

证明:(1)由直线CD与☉O相切,

得∠CEB=∠EAB.

由AB为☉O的直径,

得AE⊥EB,

从而∠EAB+∠EBF=;

又EF⊥AB,得

∠FEB+∠EBF=,

从而∠FEB=∠EAB.

故∠FEB=∠CEB.

(2)由BC⊥CE,EF⊥AB,

∠FEB=∠CEB,BE是公共边,

得Rt△BCE≌Rt△BFE,

所以BC=BF.

类似可证:Rt△ADE≌Rt△AFE,

得AD=AF.

又在Rt△AEB中,EF⊥AB,

故EF2=AF·BF,

所以EF2=AD·BC.