Question

如图,CD为△ABC外接圆的切线,AB的延长线交直线CD于点D,E、F分别为弦AB与弦AC上的点,且BC·AE=DC·AF,B、E、F、C四点共圆.

(1)证明:CA是△ABC外接圆的直径;

(2)若DB=BE=EA,求过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值.

Answer

(1)见解析   (2)

【解析】

(1)证明:因为CD为△ABC外接圆的切线,所以∠DCB=∠A,由题设知=,故△CDB∽△AEF,所以∠DBC=∠EFA.

因为B,E,F,C四点共圆,

所以∠CFE=∠DBC,故∠EFA=∠CFE=90°.

所以∠CBA=90°,因此CA是△ABC外接圆的直径.

(2)解:连接CE,因为∠CBE=90°,

所以过B,E,F,C四点的圆的直径为CE.

由DB=BE,有CE=DC.

又BC2=DB·BA=2DB2,

所以CA2=4DB2+BC2=6DB2.

而CE2=DC2=DB·DA=3DB2,

故过B,E,F,C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值为.