Question

如图,在等腰直角△OPQ中,∠POQ=90°,OP=2,点M在线段PQ上.

(1)若OM=,求PM的长;

(2)若点N在线段MQ上,且∠MON=30°,问:当∠POM取何值时,△OMN的面积最小?并求出面积的最小值.

Answer

(1) MP=1或MP=3 (2) ∠POM=30°时,△OMN的面积的最小值为8-4

【解析】

解:(1)在△OMP中,∠OPM=45°,OM=,OP=2,

由余弦定理得,OM2=OP2+MP2-2OP·MP·cos45°,

得MP2-4MP+3=0,

解得MP=1或MP=3.

(2)设∠POM=α,0°≤α≤60°,

在△OMP中,由正弦定理,

得=,

所以OM=,

同理ON=.

故S△OMN=OM·ON·sin∠MON

=×

=

=

=

=

=

=.

因为0°≤α≤60°,

30°≤2α+30°≤150°,

所以当α=30°时,sin(2α+30°)的最大值为1,

此时△OMN的面积取到最小值.

即∠POM=30°时,△OMN的面积的最小值为8-4.