Question

△ABC为一个等腰三角形形状的空地,腰AC的长为3(百米),底AB的长为4(百米).现决定在空地内筑一条笔直的小路EF(宽度不计),将该空地分成一个四边形和一个三角形,设分成的四边形和三角形的周长相等,面积分别为S₁和S₂.

(1)若小路一端E为AC的中点,求此时小路的长度;

(2)若小路的端点E、F两点分别在两腰上,求的最小值.

Answer

(1) 百米 (2)

【解析】

解:(1)∵E为AC中点时,

则AE=EC=,

∵+3<+4,

∴F不在BC上.

故F在AB上,

可得AF=,

在三角形ABC中,cosA=.

在三角形AEF中,EF2=AE2+AF2-2AE·AFcosA=,

∴EF=.

即小路一端E为AC中点时小路的长度为百米.

(2)若小路的端点E、F两点分别在两腰上,如图所示,

设CE=x,CF=y,

则x+y=5,

==-1

=-1=-1≥-1

=,

当x=y=时取等号.

答:最小值为.