Question

已知函数（为常数，且）.

（1）当时，求函数的最小值（用表示）；

（2）是否存在不同的实数使得，，并且，若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）函数的最小值为；

（2）满足条件的存在，取值范围为.

【解析】

试题分析：（1）构造新函数，分和两种情况讨论即可；（2）假设存在，则由已知得 ，等价于在区间上有两个不同的实根，作出函数图象，可得．

试题解析：（1）令 1分

当即时， 4分

当即时，7分

综上：． 8分

（2）解法一：假设存在，则由已知得

，等价于在区间上有两个不同的实根 11分

令，则在上有两个不同的零点

． 15分

解法2：假设存在，则由已知得

等价于在区间上有两个不同的实根 11分

等价于，作出函数图象，可得． 15分

考点：函数的最值、分类讨论思想、数形结合思想.