Question

已知函数，，．

(1)若，试判断并证明函数的单调性；

(2)当时，求函数的最大值的表达式．

Answer

(1)当时，在上是增函数，证明过程详见试题解析； (2)函数的最大值的表达式.

【解析】

试题分析：(1)当时，，用单调性的定义即可证明函数式单调递增的；

(2)当时，； 分和两种情况分别求出各段的最大值即可.

试题解析：(1)判断：若，函数在上是增函数. 1分

证明：当时，，

在区间上任意，设，

所以，即在上是增函数. 5分

(注：用导数法证明或其它方法说明也同样给5分)

(2)因为，所以 7分

①当时，在上是增函数，在上也是增函数，

所以当时，取得最大值为； 9分

②当时，在上是增函数，在上是减函数，

在上是增函数， 11分

而，

当时，，当时，函数取最大值为；

当时，，当时，函数取最大值为；13分

综上得， 15分

考点：函数的性质、函数最值的求法、分类讨论思想.