Question

如图,四棱锥PABCD中,PA⊥底面ABCD,PA=2,BC=CD=2, ∠ACB=∠ACD=.

(1)求证:BD⊥平面PAC;

(2)若侧棱PC上的点F满足PF=7FC,求三棱锥PBDF的体积.

Answer

(1)见解析 (2)

【解析】

(1)证明:因为BC=CD,所以△BCD为等腰三角形,

又∠ACB=∠ACD,故BD⊥AC.

因为PA⊥底面ABCD,所以PA⊥BD.

从而BD与平面PAC内两条相交直线PA,AC都垂直,

所以BD⊥平面PAC.

(2)解:三棱锥PBCD的底面BCD的面积S△BCD=BC·CD·sin∠BCD=×2×2×sin =.

由PA⊥底面ABCD,得

=·S△BCD·PA=××2=2.

由PF=7FC,得三棱锥FBCD的高为PA,

故=·S△BCD·PA=×××2=,

所以=-=2-=.