Question

如图(1)所示,△ABC是等腰直角三角形,AC=BC=4,E、F分别为AC、AB的中点,将△AEF沿EF折起,使A′在平面BCEF上的射影O恰为EC的中点,得到图(2).

(1)求证:EF⊥A′C;

(2)求三棱锥FA′BC的体积.

Answer

(1)见解析 (2)

【解析】

(1)证明:在△ABC中,EF是等腰直角△ABC的中位线,

∴EF⊥AC,

在四棱锥A′BCEF中,EF⊥A′E,EF⊥EC,

又EC∩A′E=E,∴EF⊥平面A′EC,

又A′C⊂平面A′EC,

∴EF⊥A′C.

(2)解:在直角梯形BCEF中,EC=2,BC=4,

∴S△FBC=BC·EC=4,

∵A′O⊥平面BCEF,

∴A′O⊥EC,

又∵O为EC的中点,

∴△A′EC为正三角形,边长为2,

∴A′O=,

∴==S△FBC·A′O=×4×=.