Question

如图所示,矩形ABCD中,AB=a,AD=b,过点D作DE⊥AC于E,交直线AB于F.现将△ACD沿对角线AC折起到△PAC的位置,使二面角PACB的大小为60°.过P作PH⊥EF于H.

(1)求证:PH⊥平面ABC;

(2)若a+b=2,求四面体PABC体积的最大值.

Answer

(1)见解析 (2)

【解析】

(1)证明:∵DF⊥AC,

∴折起后AC⊥PE,AC⊥EF,

∴AC⊥平面PEF,

又PH⊂平面PEF,

∴AC⊥PH,

又PH⊥EF,EF∩AC=E,

∴PH⊥平面ABC.

(2)解:∵PE⊥AC,EF⊥AC,

∴∠PEF就是二面角PACB的平面角,

∴∠PEF=60°,

∴Rt△PHE中,PH=PE,

折起前,Rt△ADC中,

DE==,

S△ABC=ab,

折起后,PE=DE,

∴PH=PE=·,

∴=PH·S△ABC

=···ab

=·,

∵a+b=2,a>0,b>0,

∴≤=≤=,

当且仅当a=b=1时,两个等号同时成立,

因此()max=.