Question

如图所示,三棱柱ABCA₁B₁C₁中,AA₁⊥平面ABC,D、E分别为A₁B₁、AA₁的中点,点F在棱AB上,且AF=AB.

(1)求证:EF∥平面BC₁D;

(2)在棱AC上是否存在一个点G,使得平面EFG将三棱柱分割成的两部分体积之比为1∶15,若存在,指出点G的位置;若不存在,说明理由.

Answer

(1)见解析 (2) 不存在.理由见解析

【解析】

(1)证明:取AB的中点M,

∵AF=AB,

∴F为AM的中点,

又∵E为AA1的中点,

∴EF∥A1M.

在三棱柱ABCA1B1C1中,D、M分别为A1B1、AB的中点,

∴A1D∥BM,A1D=BM,

∴四边形A1DBM为平行四边形,

∴A1M∥BD,

∴EF∥BD,

∵BD⊆平面BC1D,EF⊄平面BC1D,

∴EF∥平面BC1D.

(2)解:设AC上存在一点G,使得平面EFG将三棱柱分割成两部分的体积之比为1∶15,

则∶=1∶16,

∵=

=×××

=·.

∴·=,

∴=,

∴AG=AC>AC.

所以符合要求的点G不存在.