Question

在抛物线y=x²+ax-5(a≠0)上取横坐标为x₁=-4,x₂=2的两点,过这两点引一条割线,有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆5x²+5y²=36相切,则抛物线顶点的坐标为(　　)

(A)(-2,-9)   (B)(0,-5)

(C)(2,-9)    (D)(1,-6)

Answer

A

【解析】当x1=-4时,y1=11-4a;当x2=2时,y2=2a-1,所以割线的斜率k==a-2.设直线与抛物线的切点横坐标为x0,由y′=2x+a得切线斜率为2x0+a,∴2x0+a=a-2,∴x0=-1.

∴直线与抛物线的切点坐标为(-1,-a-4),切线方程为y+a+4=(a-2)(x+1),

即(a-2)x-y-6=0.

圆5x2+5y2=36的圆心到切线的距离d=.由题意得=,即(a-2)2+1=5.

又a≠0,∴a=4,此时y=x2+4x-5=(x+2)2-9,顶点坐标为(-2,-9).故选A.