Question

已知抛物线C:y²=8x与点M(-2,2),过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A、B两点,若·=0,则k等于(　　)

(A)    (B)     (C)       (D)2

Answer

D

【解析】法一 设直线方程为y=k(x-2),A(x1,y1)、B(x2,y2),

由

得k2x2-4(k2+2)x+4k2=0,

∴x1+x2=,

x1x2=4,

由·=0,

得(x1+2,y1-2)·(x2+2,y2-2)=(x1+2)(x2+2)+[k(x1-2)-2][k(x2-2)-2]=0,

代入整理得k2-4k+4=0,

解得k=2.故选D.

法二 如图所示,设F为焦点,取AB中点P,

过A、B分别作准线的垂线,垂足分别为G、H,

连接MF,MP,

由·=0,

知MA⊥MB,

则|MP|=|AB|=(|AG|+|BH|),

所以MP为直角梯形BHGA的中位线,

所以MP∥AG∥BH,

所以∠GAM=∠AMP=∠MAP,

又|AG|=|AF|,

|AM|=|AM|,

所以△AMG≌△AMF,

所以∠AFM=∠AGM=90°,

则MF⊥AB,所以k=-=2.