Question

如图所示,抛物线C₁:x²=4y,C₂:x²=-2py(p>0).点M(x₀,y₀)在抛物线C₂上,过M作C₁的切线,切点为A,B(M为原点O时,A,B重合于O).当x₀=1-时,切线MA的斜率为-.

(1)求p的值;

(2)当M在C₂上运动时,求线段AB中点N的轨迹方程(A,B重合于O时,中点为O).

Answer

(1)2 (2) x2=y

【解析】

解:(1)因为抛物线C1:x2=4y上任意一点(x,y)的切线斜率为y′=,且切线MA的斜率为-,

所以A点坐标为.

故切线MA的方程为y=-(x+1)+ .

因为点M(1-y0)在切线MA及抛物线C2上,于是

y0=-(2-)+=-, ①

y0=-=-. ②

由①②得p=2.

(2)设N(x,y),A,B,

x1≠x2,由N为线段AB中点知

x=, ③

y=. ④

切线MA,MB的方程为

y=(x-x1)+ , ⑤

y=(x-x2)+ . ⑥

由⑤⑥得MA,MB的交点M(x0,y0)的坐标为

x0=,y0=.

因为点M(x0,y0)在C2上,

即=-4y0,

所以x1x2=-. ⑦

由③④⑦得

x2=y,x≠0.

当x1=x2时,A,B重合于原点O,AB中点N为O,坐标满足x2=y.

因此AB中点N的轨迹方程为x2=y.