Question

已知抛物线C顶点为原点,其焦点F(0,c)(c>0)到直线l:x-y-2=0的距离为,设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点.

(1)求抛物线C的方程;

(2)当点P(x₀,y₀)为直线l上的定点时,求直线AB的方程;

(3)当点P在直线l上移动时,求|AF|·|BF|的最小值.

Answer

(1) x2=4y (2) y=x0x-y0 (3)

【解析】

解:(1)∵抛物线C的焦点F(0,c)(c>0)到直线l:x-y-2=0的距离为,

∴=,得c=1,

∴F(0,1),即抛物线C的方程为x2=4y.

(2)设切点A(x1,y1),B(x2,y2),

由x2=4y得y′=x,

∴切线PA:y-y1=x1(x-x1),

有y=x1x-+y1,而=4y1,

即切线PA:y=x1x-y1,

同理可得切线PB:y=x2x-y2.

∵两切线均过定点P(x0,y0),

∴y0=x1x0-y1,y0=x2x0-y2,

由此两式知点A,B均在直线y0=xx0-y上,

∴直线AB的方程为y0=xx0-y,

即y=x0x-y0.

(3)设点P的坐标为(x′,y′),

由x′-y′-2=0,

得x′=y′+2,

则|AF|·|BF|=·

=·

=·

=(y1+1)·(y2+1)

=y1y2+(y1+y2)+1.

由

得y2+(2y′-x′2)y+y′2=0,

有y1+y2=x′2-2y′,y1y2=y′2,

∴|AF|·|BF|=y′2+x′2-2y′+1

=y′2+(y′+2)2-2y′+1

=22+,

当y′=-,x′=时,

即P时,|AF|·|BF|取得最小值.