Question

已知抛物线C:y²=2px(p>0)过点A(1,-2).

(1)求抛物线C的方程,并求其准线方程.

(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l,使得直线l与抛物线C有公共点,且直线OA与l的距离等于?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.

Answer

(1) 抛物线C的方程为y2=4x 准线方程为x=-1. (2) 存在,其方程为2x+y-1=0

【解析】

解:(1)将(1,-2)代入y2=2px,得(-2)2=2p·1,

所以p=2.

故所求的抛物线C的方程为y2=4x,

其准线方程为x=-1.

(2)假设存在符合题意的直线l,其方程为y=-2x+t.

由得y2+2y-2t=0.

因为直线l与抛物线C有公共点,

所以Δ=4+8t≥0,

解得t≥-.

另一方面,由直线OA与l的距离d=可得=,

解得t=±1.

因为-1∉,1∈,

所以符合题意的直线l存在,其方程为2x+y-1=0.