Question

设函数f(x)=sin²ωx+2sinωx·cosωx-cos²ωx+λ(x∈R)的图象关于直线x=π对称,其中ω,λ为常数,且ω∈(,1).

(1)求函数f(x)的最小正周期;

(2)若y=f(x)的图象经过点(,0),求函数f(x)的值域.

Answer

(1) (2) [-2-,2-]

【解析】

解:(1)f(x)=sin2ωx-cos2ωsinx+2sinωx·cosωx+λ

=-cos2ωx+sin2ωx+λ

=2sin(2ωx-)+λ.

由直线x=π是y=f(x)图象的一条对称轴,

可得sin(2ωπ-)=±1,

所以2ωπ-=kπ+(k∈Z),

即ω=+(k∈Z).

又ω∈(,1),k∈Z,

所以k=1,故ω=.

所以f(x)的最小正周期是.

(2)由y=f(x)的图象过点(,0),

得f()=0,

即λ=-2sin(×-)

=-2sin=-,

即λ=-.

故f(x)=2sin(x-)-.

所以函数f(x)的值域为[-2-,2-].