Question

对任意x∈R,函数f(x)满足f(x+1)= + ,设a_n=[f(n)]²-f(n),数列{a_n}的前15项的和为,则f(15)=　　　　.

Answer

【解析】因为f(x+1)=+,

所以f(x+1)-=≥0,

即f(x+1)≥.

两边平方得[f(x+1)-]2=f(x)-[f(x)]2,

即[f(x+1)]2-f(x+1)+=f(x)-[f(x)]2,

即[f(x+1)]2-f(x+1)+[f(x)]2-f(x)=-,

即an+1+an=-,

即数列{an}的任意相邻两项之和为-,

所以S15=7×(-)+a15=-,即a15=-.

所以a15=[f(15)]2-f(15)=-,

解得f(15)=或f(15)=(舍去).