Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n与通项a_n满足S_n=-a_n.

(1)求数列{a_n}的通项公式;

(2)设f(x)=log₃x,b_n=f(a₁)+f(a₂)+…+f(a_n),T_n=++…+,求T₂₀₁₂;

(3)若c_n=a_n·f(a_n),求{c_n}的前n项和U_n.

Answer

(1) an=n (2) (3) Un=-+·n+n·n+1

【解析】

解:(1)当n=1时,a1=,

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-an-+an-1,

所以an=an-1,

即数列{an}是首项为,公比为的等比数列,

故an=n.

(2)由已知可得f(an)=log3n=-n.

则bn=-1-2-3-…-n=-,

故=-2(-),

又Tn=-2[(1-)+(-)+…+(-)]

=-2(1-),

所以T2012=-.

(3)由题意得cn=-n·n,

故Un=c1+c2+…+cn

=-[1×1+2×2+…+n×n],

则Un=-[1×2+2×3+…+n×n+1],

两式相减可得

Un=-[1+2+…+n-n·n+1]

=-[1-n]+n·n+1

=-+·n+n·n+1,

则Un=-+·n+n·n+1.