Question

已知F是双曲线-=1的左焦点,A(1,4),P是双曲线右支上的动点,则|PF|+|PA|的最小值为　　　　.

Answer

9

【解析】由-=1知c2=4+12=16,

c=4.

∴左焦点F(-4,0),设双曲线右焦点为F′(4,0),

∵点P在双曲线右支上,

∴|PF|-|PF′|=2a=4,

∴|PF|=4+|PF′|,

∴|PF|+|PA|=4+|PF′|+|PA|.

由图可知,当A、P、F′三点共线时,|PF′|+|PA|最小,此时,

(|PF|+|PA|)min=4+(|PF′|+|PA|)min

=4+|AF′|

=4+

=4+5

=9.