Question

已知双曲线C的方程为-=1(a>0,b>0),离心率e=,顶点到渐近线的距离为.

(1)求双曲线C的方程;

(2)如图,P是双曲线C上一点,A、B两点在双曲线C的两条渐近线上,且分别位于第一、二象限.若=λ,λ∈.求△AOB的面积的取值范围.

Answer

(1) -x2=1 (2)

【解析】

解:(1)由题意知,双曲线C的顶点(0,a)到渐近线ax-by=0的距离为,

∴=,即=.

由得

∴双曲线C的方程为-x2=1.

(2)由(1)知双曲线C的两条渐近线方程为y=±2x,

设A(m,2m),B(-n,2n),m>0,n>0.

由=λ得P点坐标为,

将P点坐标代入-x2=1,化简得mn=.

设∠AOB=2θ,∵tan(-θ)2.

∴tanθ=,sin2θ=.

又|OA|=m,|OB|=n,

∴S△AOB=|OA|·|OB|·sin2θ

=2mn

=+1,

记S(λ)=+1,λ∈.

则S′(λ)=.

由S′(λ)=0得λ=1.

又S(1)=2,S=,S(2)=,

∴当λ=1时,△AOB的面积取得最小值2,当λ=时,

△AOB的面积取得最大值.

∴△AOB面积的取值范围是.