Question

双曲线的中心在坐标原点O,A、C分别是双曲线虚轴的上、下顶点,B是双曲线的左顶点,F是双曲线的左焦点,直线AB与FC相交于点D,若双曲线的离心率为2,则∠BDF的余弦值是(　　)

(A)          (B)     (C)     (D)

Answer

C

【解析】设双曲线方程-=1(a>0,b>0),

则A(0,b),C(0,-b),B(-a,0),F(-c,0),

由e==2得c=2a,b==a,

∴直线AB方程为y=x+a,

直线FC方程为y=-x-a.

法一 由 得D(-a,-a).

∴|DF|=a,|DB|=a,

又|BF|=a.

在△BDF中,由余弦定理得

cos∠BDF==.

故选C.

法二 tan∠FBD=,tan∠DFB=,

∴tan∠BDF=tan[180°-(∠FBD+∠DFB)]

=-tan(∠FBD+∠DFB)

=-

=3.

∴cos∠BDF===.故选C.