Question

已知△ABC的三边长|AB|=,|BC|=4,|AC|=1,动点M满足=λ+μ,且λμ=.

(1)求||最小值,并指出此时与,的夹角;

(2)是否存在两定点F₁,F₂使|||-|||恒为常数k?若存在,指出常数k的值,若不存在,说明理由.

Answer

(1) 或 (2) 存在 k=2

【解析】

解:(1)由余弦定理知:

cos∠ACB==⇒∠ACB=.

因为||2==(λ+μ)2

=λ2+16μ2+2λμ·

=λ2+16μ2+1≥3.

所以||≥,当且仅当λ=±1时,“=”成立.

故||的最小值是,

此时<,>=<,>=或.

(2)以C为坐标原点,∠ACB的平分线所在直线为x轴建立直角坐标系(如图),则A,B(2,-2),

设动点M(x,y),

因为=λ+μ,

所以⇒

再由λμ=知-y2=1,

所以,动点M的轨迹是以F1(-2,0),F2(2,0)为焦点,实轴长为2的双曲线,

即存在两定点F1(-2,0),F2(2,0)使|||-|||恒为常数2,即k=2.