Question

已知动点M(x,y)到直线l:x=4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍.

(1)求动点M的轨迹C的方程;

(2)过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于A,B两点,若A是PB的中点,求直线m的斜率.

Answer

(1) +=1 (2) -或

【解析】

解:(1)设M到直线l的距离为d,

根据题意,d=2|MN|.

由此得|4-x|=2,

化简得+=1,

所以,动点M的轨迹方程为+=1.

(2)法一 由题意,设直线m的方程为y=kx+3,A(x1,y1),B(x2,y2).

将y=kx+3代入+=1中,

有(3+4k2)x2+24kx+24=0,

其中,Δ=(24k)2-4×24(3+4k2)=96(2k2-3)>0,

由求根公式得,

x1+x2=-, ①

x1x2=. ②

又因A是PB的中点,

故x2=2x1,③

将③代入①,②,得

x1=-,

=,

可得=,

且k2>,

解得k=-或k=,

所以,直线m的斜率为-或.

法二 由题意,设直线m的方程为y=kx+3,

A(x1,y1),B(x2,y2).

∵A是PB的中点,

∴x1=,①

y1=.②

又+=1,③

+=1.④

联立①,②,③,④解得或

即点B的坐标为(2,0)或(-2,0),

所以,直线m的斜率为-或.