Question

如图所示,设椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,上顶点为A,左、右焦点分别为F₁、F₂,线段OF₁、OF₂的中点分别为B₁、B₂,且△AB₁B₂是面积为4的直角三角形.

(1)求该椭圆的离心率和标准方程;

(2)过B₁作直线交椭圆于P、Q两点,使PB₂⊥QB₂,求△PB₂Q的面积.

Answer

(1) +=1 (2)

【解析】

解:(1)设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0),焦距为2c,则A(0,b),|OB1|=|OB2|=.

由=4得·c·b=4,

即bc=8.①

又△AB1B2是直角三角形,

且|OB1|=|OB2|,∴b=.②

由①②可得b=2,c=4.

∴a2=20.

∴椭圆的标准方程为+=1,离心率e==.

(2)由(1)知B1(-2,0),B2(2,0).

由题意知,直线PQ的倾斜角不为0,

故可设直线PQ的方程为x=my-2.

代入椭圆方程得(m2+5)y2-4my-16=0.(*)

设P1(x1,y1),P2(x2,y2),

则y1,y2是方程(*)的两根.

∴y1+y2=,y1·y2=-.

又=(x1-2,y1),=(x2-2,y2).

∴·=(x1-2)(x2-2)+y1y2

=(my1-4)(my2-4)+y1y2

=(m2+1)y1y2-4m(y1+y2)+16

=--+16

=-.

由PB2⊥B2Q知·=0,

即-=0,

16m2-64=0,解得m=±2.

当m=2时,y1+y2=,y1y2=-,

|y1-y2|==.

=|B1B2|·|y1-y2|=.

当m=-2时,由椭圆的对称性可得=.

综上所述,△PB2Q的面积为.