Question

已知F是椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点,点P在椭圆C上,线段PF与圆（x-）²+y²=相切于点Q,且=2,则椭圆C的离心率等于(　　)

(A)      (B)      (C)      (D)

Answer

A

【解析】记椭圆的左焦点为F′,

圆(x-)2+y2=的圆心为E,

连接PF′、QE.

∵|EF|=|OF|-|OE|=c-=,=2,

∴==,

∴PF′∥QE,

∴=,且PF′⊥PF.

又∵|QE|=(圆的半径长),

∴|PF′|=b.

据椭圆的定义知:|PF′|+|PF|=2a,

∴|PF|=2a-b.

∵PF′⊥PF,

∴|PF′|2+|PF|2=|F′F|2,

∴b2+(2a-b)2=(2c)2,

∴2(a2-c2)+b2=2ab,

∴3b2=2ab,

∴b=,c==a,=,

∴椭圆的离心率为.