Question

椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F₁,F₂,焦距为2,过F₁作垂直于椭圆长轴的弦PQ,|PQ|为3.

(1)求椭圆E的方程;

(2)若过F₁的直线l交椭圆于A,B两点,判断是否存在直线l使得∠AF₂B为钝角,若存在,求出l的斜率k的取值范围.

Answer

(1) +=1 (2)存在，斜率k的取值范围为-0.

设A(x1,y1),B(x2,y2),

则x1+x2=-,x1·x2=.

=(x1-1,y1),=(x2-1,y2).

∵∠AF2B为钝角,

∴·<0.

即(x1-1)(x2-1)+y1y2<0,

整理得(k2+1)x1x2+(k2-1)(x1+x2)+k2+1<0.

即(k2+1)·-(k2-1)·+k2+1<0,

整理得7k2<9,

解得-