Question

已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆与直线x-y+=0相切,过点P(4,0)且不垂直于x轴直线l与椭圆C相交于A、B两点.

(1)求椭圆C的方程;

(2)求·的取值范围;

(3)若B点关于x轴的对称点是E,证明:直线AE与x轴相交于定点.

Answer

(1) +=1 (2) (3)见解析

【解析】

(1)解:由题意知e==,

∴e2===,

即a2=b2.

又b==,

∴b2=3,a2=4,

故椭圆的方程为+=1.

(2)解:由题意知直线l的斜率存在,

设直线l的方程为y=k(x-4).

由

得(4k2+3)x2-32k2x+64k2-12=0.

由Δ=(-32k2)2-4(4k2+3)(64k2-12)>0,

得k2<.

设A(x1,y1),B(x2,y2),

则 (*)

∴y1y2=k2(x1-4)(x2-4)=k2x1x2-4k2(x1+x2)+16k2,

∴·=x1x2+y1y2

=(1+k2)·-4k2·+16k2

=25-

∵0≤k2<,

∴-≤-<-,

∴·∈.

∴·的取值范围是.

(3)证明:∵B、E两点关于x轴对称,

∴E(x2,-y2).

直线AE的方程为y-y1=(x-x1),

令y=0得x=x1-,

又y1=k(x1-4),y2=k(x2-4),

∴x=.

将(*)式代入得,x=1,

∴直线AE与x轴交于定点(1,0).