Question

已知向量a=(1,2),b=(cos α,sin α),设m=a+tb(t为实数).

(1)若α=,求当|m|取最小值时实数t的值;

(2)若a⊥b,问:是否存在实数t,使得向量a-b和向量m夹角的余弦值为,若存在,请求出t;若不存在,请说明理由.

Answer

(1) (2) 存在t=1或t=-7满足条件

【解析】

解:(1)因为α=,

所以b=,a·b=,

则|m|=

=

=

=,

所以当t=-时,|m|取到最小值,最小值为.

(2)存在实数t满足条件,理由如下:

由条件得=,

又因为|a-b|==,

|a+tb|==,

(a-b)·(a+tb)=5-t,

所以=,且t<5,

整理得t2+6t-7=0,

所以存在t=1或t=-7满足条件.