Question

在平面直角坐标系xOy中,F是抛物线C:x²=2py(p>0)的焦点,M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点,过M,F,O三点的圆的圆心为Q,点Q到抛物线C的准线的距离为.

(1)求抛物线C的方程;

(2)是否存在点M,使得直线MQ与抛物线C相切于点M?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由.

(3)若点M的横坐标为,直线l:y=kx+与抛物线C有两个不同的交点A,B,l与圆Q有两个不同的交点D,E,求当≤k≤2时,|AB|²+|DE|²的最小值.

Answer

（1）x2=2y （2）存在点M(,1) （3）

【解析】

解:(1)依题意知F,圆心Q在线段OF的垂直平分线y=上,

因为抛物线C的准线方程为y=-,

所以=,

即p=1.

因此抛物线C的方程为x2=2y.

(2)假设存在点M(x0>0)满足条件,抛物线C在点M处的切线斜率为y′==x0,

所以直线MQ的方程为y-=x0(x-x0).

令y=得xQ=+.

所以Q（+,）.

又|QM|=|OQ|,

故（-）2+（-）2=（+）2+,

因此（-）2=.

又x0>0,

所以x0=,此时M(,1).

故存在点M(,1),

使得直线MQ与抛物线C相切于点M.

(3)当x0=时,由(2)得Q（,）,

☉Q的半径为r==,

所以☉Q的方程为（x-）2+（y-）2=.

由

整理得2x2-4kx-1=0.

设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),

由于Δ1=16k2+8>0,x1+x2=2k,x1x2=-,

所以|AB|2=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=(1+k2)(4k2+2).

由

整理得(1+k2)x2-x-=0.

设D,E两点的坐标分别为(x3,y3),(x4,y4),

由于Δ2=+>0,x3+x4=,

x3x4=-.

所以|DE|2=(1+k2)[(x3+x4)2-4x3x4]

=+.

因此|AB|2+|DE|2=(1+k2)(4k2+2)+ +.

令1+k2=t,

由于≤k≤2,

则≤t≤5,

所以|AB|2+|DE|2=t(4t-2)++

=4t2-2t++,

设g(t)=4t2-2t++,t∈,

因为g′(t)=8t-2-,

所以当t∈时,g′(t)≥g′=6,

即函数g(t)在t∈上是增函数,

所以当t=时,g(t)取到最小值,

因此,当k=时,|AB|2+|DE|2取到最小值.