Question

已知椭圆C₁:+=1(a>b>0)的右顶点为A(1,0),过C₁的焦点且垂直长轴的弦长为1.

(1)求椭圆C₁的方程;

(2)设点P在抛物线C₂:y=x²+h(h∈R)上,C₂在点P处的切线与C₁交于点M,N.当线段AP的中点与MN的中点的横坐标相等时,求h的最小值.

Answer

（1）+x2=1 （2）1

【解析】

解:(1)由题意,得

从而

因此,所求的椭圆方程为+x2=1.

(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),

P(t,t2+h),

则抛物线C2在点P处的切线斜率为

y′|x=t=2t,

直线MN的方程为:

y=2tx-t2+h.

将上式代入椭圆C1的方程中,

得4x2+(2tx-t2+h)2-4=0,

即4(1+t2)x2-4t(t2-h)x+(t2-h)2-4=0.①

因为直线MN与椭圆C1有两个不同的交点,

所以①式中的

Δ1=16[-t4+2(h+2)t2-h2+4]>0.②

设线段MN的中点的横坐标是x3,

则x3==.

设线段PA的中点的横坐标是x4,

则x4=.

由题意,得x3=x4,

即t2+(1+h)t+1=0.③

由③式中的

Δ2=(1+h)2-4≥0,

得h≥1或h≤-3.

当h≤-3时,h+2<0,4-h2<0,

则不等式②不成立,

所以h≥1.

当h=1时,代入方程③得t=-1,

将h=1,t=-1代入不等式②,检验成立.

所以h的最小值为1.