Question

如图,抛物线E:y²=4x的焦点为F,准线l与x轴的交点为A.点C在抛物线E上,以C为圆心,|CO|为半径作圆,设圆C与准线l交于不同的两点M,N.

(1)若点C的纵坐标为2,求|MN|;

(2)若|AF|²=|AM|·|AN|,求圆C的半径.

Answer

（1）2 （2）

【解析】

解:(1)抛物线y2=4x的准线l的方程为x=-1.

由点C的纵坐标为2,点C在抛物线E上,

得点C的坐标为(1,2),

所以点C到准线l的距离d=2,

又|CN|=|CO|=,

所以|MN|=2=2=2.

(2)设C（,y0）,

则圆C的方程为（x-）2+(y-y0)2=+,

即x2-x+y2-2y0y=0.

由x=-1,

得y2-2y0y+1+=0,

设M(-1,y1),N(-1,y2),则

由|AF|2=|AM|·|AN|,

得|y1y2|=4,

所以+1=4,

解得y0=±,此时Δ>0.

所以圆心C的坐标为（,）或（,-）,

从而|CO|2=,

|CO|=,

即圆C的半径为.