Question

已知F₁,F₂分别是椭圆E:+y²=1的左、右焦点,F₁,F₂关于直线x+y-2=0的对称点是圆C的一条直径的两个端点.

(1)求圆C的方程;

(2)设过点F₂的直线l被椭圆E和圆C所截得的弦长分别为a,b.当ab最大时,求直线l的方程.

Answer

（1）(x-2)2+(y-2)2=4 （2）x-y-2=0或x+y-2=0

【解析】

解:(1)由题设知,F1,F2的坐标分别为(-2,0),(2,0),圆C的半径为2,圆心为原点O关于直线x+y-2=0的对称点.

设圆心的坐标为(x0,y0),

由解得

所以圆C的方程为(x-2)2+(y-2)2=4.

(2)由题意,可设直线l的方程为x=my+2,

则圆心到直线l的距离d=.

所以b=2=.

由得(m2+5)y2+4my-1=0.

设l与E的两个交点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),

则y1+y2=-,y1y2=-.

于是a==

=

==.

从而ab==

=≤

=2.

当且仅当=,即m=±时等号成立.

故当m=±时,ab最大,此时,直线l的方程为x=y+2或x=-y+2,

即x-y-2=0或x+y-2=0.