Question

如图所示,设P是抛物线C₁:x²=y上的动点,过点P作圆C₂:x²+(y+3)²=1的两条切线,交直线l:y=-3于A、B两点.

(1)求圆C₂的圆心M到抛物线C₁准线的距离;

(2)是否存在点P,使线段AB被抛物线C₁在点P处的切线平分?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

Answer

（1） （2）存在点P满足题意,点P的坐标为(±,2)

【解析】

解:(1)因为抛物线C1的准线方程为y=-,

所以圆心M到抛物线C1的准线的距离为

=.

(2)设点P的坐标为(x0,),抛物线C1在点P处的切线交直线l于点D.

再设A,B,D的横坐标分别为xA,xB,xD,

过点P(x0,)的抛物线C1的切线方程为

y-=2x0(x-x0).①

当x0=1时,过点P(1,1)与圆C2相切的直线PA的方程为

y-1=(x-1).

可得xA=-,xB=1,xD=-1,xA+xB≠2xD.

当x0=-1时,过点P(-1,1)与圆C2相切的直线PB的方程为y-1=-(x+1),

可得xA=-1,xB=,xD=1,xA+xB≠2xD,

所以-1≠0.

设切线PA、PB的斜率为k1,k2,

则PA:y-=k1(x-x0),②

PB:y-=k2(x-x0),③

将y=-3分别代入①②③得

xD=(x0≠0),

xA=x0-,

xB=x0-(k1,k2≠0),

∴xA+xB=2x0-(+3)（+）.

又=1,

即(-1)-2(+3)x0k1+(+3)2-1=0.

同理,(-1)-2(+3)x0k2+(+3)2-1=0.

∴k1、k2是方程(-1)k2-2(+3)x0k+(+3)2-1=0的两个不相等的根,

从而k1+k2=,

k1·k2=.

因为xA+xB=2xD,

所以2x0-(3+)（+）=,

即+=.

从而=,

进而得=8,

所以x0=±.

综上所述,存在点P满足题意,点P的坐标为(±,2).