Question

点A为两曲线C₁:+=1和C₂:x²-=1在第二象限的交点,B、C为曲线C₁的左、右焦点,线段BC上一点P满足:=+m(+),则实数m的值为　　　　.

Answer

【解析】法一 ∵A是曲线C1与C2在第二象限的交点如图所示.

∴由

得点A坐标为(-,2).

由+=1知c2=9-6=3,

∴B(-,0),C(,0),

∴=(0,2),=(0,-2),=(2,-2).

=2,

=4.

∴+m（+）=(0,2)+m=(0,2)+m（,-）=（m,2-m）.

设点P(x,0),则=(x+,0),

由题意得

解得

法二 由椭圆与双曲线方程可知,C1、C2有共同的焦点,即B、C.

由椭圆和双曲线定义有

解得

又|BC|=2,

∴△ABC为直角三角形,且∠BAC=60°.

又由=+m(+)得

-==m(+)(*)

由向量的线性运算易知,AP为∠BAC的平分线,

故cos∠BAP=,

即cos 30°=,

∴=.

将(*)式的两边平方得:

||2=m2(1+1+2cos 60°)=（）2,

解得m=或m=-(舍去).