Question

已知椭圆E:+=1(a>b>0),以抛物线y²=8x的焦点为顶点,且离心率为.

(1)求椭圆E的方程;

(2)若F为椭圆E的左焦点,O为坐标原点,直线l:y=kx+m与椭圆E相交于A、B两点,与直线x=-4相交于Q点,P是椭圆E上一点且满足=+,证明·为定值,并求出该值.

Answer

（1）+=1 （2），证明见解析

【解析】

解:(1)抛物线y2=8x的焦点为(2,0),

又椭圆以抛物线焦点为顶点,

∴a=2,

又e==,

∴c=1,∴b2=3.

∴椭圆E的方程为+=1.

(2)由(1)知,F(-1,0),

由

消去y,得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0.

∵l与椭圆交于两点,

∴Δ=(8km)2-4(3+4k2)(4m2-12)>0,

即m2<4k2+3.

设A(x1,y1),B(x2,y2),

则x1、x2是上述方程的两个根,

∴x1+x2=-,x1·x2=,

又y1+y2=kx1+m+kx2+m

=k(x1+x2)+2m

=

∴=+=（-,）,

由点P在椭圆上,得+=1.

整理得4m2=3+4k2,

又Q(-4,-4k+m),

∴=(-3,-4k+m).

∴·=（-,）·(-3,m-4k)

=+

=

=.

即·为定值.