Question

如图所示,已知圆C与y轴相切于点T(0,2),与x轴正半轴相交于两点M,N(点M在点N的右侧),且|MN|=3,已知椭圆D:+=1(a>b>0)的焦距等于2|ON|,且过点（,）.

(1)求圆C和椭圆D的方程;

(2)若过点M斜率不为零的直线l与椭圆D交于A、B两点,求证:直线NA与直线NB的倾斜角互补.

Answer

（1）（x-）2+(y-2)2= +=1 （2）见解析

【解析】

(1)解:设圆的半径为r,由题意,圆心为(r,2),

因为|MN|=3,

所以r2=（）2+22=,r=,

故圆C的方程是（x-）2+(y-2)2= ①

在①中,令y=0解得x=1或x=4,

所以N(1,0),M(4,0).

由得c=1,a=2,

故b2=3.

所以椭圆D的方程为+=1.

(2)证明:设直线l的方程为y=k(x-4).

由

得(3+4k2)x2-32k2x+64k2-12=0 ②

设A(x1,y1),B(x2,y2),

则x1+x2=,x1x2=.

当x1≠1,x2≠1时,

kAN+kBN=+

=+

=k·

=·[2x1x2-5(x1+x2)+8]

=·

=0.

所以kAN=-kBN,

当x1=1或x2=1时,k=±,

此时,对方程②,Δ=0,不合题意.

所以直线AN与直线BN的倾斜角互补.