Question

已知椭圆C₁的中心在坐标原点,两个焦点分别为F₁(-2,0),F₂(2,0),点A(2,3)在椭圆C₁上,过点A的直线L与抛物线C₂:x²=4y交于B,C两点,抛物线C₂在点B,C处的切线分别为l₁,l₂,且l₁与l₂交于点P.

(1)求椭圆C₁的方程;

(2)是否存在满足|PF₁|+|PF₂|=|AF₁|+|AF₂|的点P?若存在,指出这样的点P有几个(不必求出点P的坐标);若不存在,说明理由.

Answer

（1）+=1 （2）存在，有2个

【解析】

解:(1)设椭圆方程为+=1(a>b>0),

由题意可知2a=+=8.

∴a=4,b2=a2-c2=12.

∴椭圆方程为+=1.

(2)设B（x1,）,C（x2,）,

直线BC的斜率为k,则k=.

由y=x2,得y′=x.

∴点B、C处的切线l1、l2的斜率分别为x1,x2,

∴l1的方程为y-=x1(x-x1),

即y=x1x-,

同理,l2的方程为y=x2x-.

由

解得

∴P(2k,2k-3).

∵|PF1|+|PF2|=|AF1|+|AF2|,

∴点P在椭圆C1:+=1上,

∴+=1.

化简得7k2-12k-3=0.(*)

由Δ=122-4×7×(-3)=228>0,

可得方程(*)有两个不等的实数根.

∴满足条件的点P有两个.