Question

已知函数f(x)=ax--3ln x,其中a为常数.

(1)当函数f(x)的图象在点处的切线的斜率为1时,求函数f(x)在上的最小值;

(2)若函数f(x)在区间(0,+∞)上既有极大值又有极小值,求a的取值范围;

(3)在(1)的条件下,过点P(1,-4)作函数F(x)=x²[f(x)+3lnx-3]图象的切线,试问这样的切线有几条?并求出这些切线方程.

Answer

(1) 1-3ln 2 (2) 00),

由题可得方程ax2-3x+2=0有两个不等的正实根,不妨设这两个根为x1、x2,

则

解得00),F′(x)=3x2-6x-2(x>0).

设切点为T(x0,y0),由于点P在函数F(x)的图象上,

①当切点T不与点P(1,-4)重合,即当x0≠1时,由于切线过点P(1,-4),则=3-6x0-2,

所以-3-2x0+4=(x0-1)(3-6x0-2),

化简得-3+3x0-1=0,即(x0-1)3=0,

解得x0=1(舍去).

②当切点T与点P(1,-4)重合,即x0=1时,

则切线的斜率k=F′(1)=-5,

于是切线方程为5x+y-1=0.

综上所述,满足条件的切线只有一条,

其方程为5x+y-1=0.