Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n,且有a₁=2,S_n=2a_n-2.

(1)求数列a_n的通项公式;

(2)若b_n=na_n,求数列{b_n}的前n项和T_n.

Answer

(1) an=2n (2) Tn=2+(n-1)·2n+1

【解析】

解:(1)∵Sn=2an-2,

∴Sn-1=2an-1-2(n≥2),

∴an=2an-1,

=2(n≥2).

又∵a1=2,

∴{an}是以2为首项,2为公比的等比数列,

∴an=2·2n-1=2n.

(2)bn=n·2n,

Tn=1·21+2·22+3·23+…+n·2n,

2Tn=1·22+2·23+…+(n-1)·2n+n·2n+1.

两式相减得,-Tn=21+22+…+2n-n·2n+1,

∴-Tn=-n·2n+1=(1-n)·2n+1-2,

∴Tn=2+(n-1)·2n+1.