Question

在等比数列{a_n}中,a₂a₃=32,a₅=32.

(1)求数列{a_n}的通项公式;

(2)设数列{a_n}的前n项和为S_n,求S₁+2S₂+…+nS_n.

Answer

(1) an=2n (2) (n-1)2n+2+4-n(n+1)

【解析】

解:(1)设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,依题意得

解得a1=2,q=2,

∴an=2·2n-1=2n.

(2)∵Sn表示数列{an}的前n项和,

∴Sn==2(2n-1),

∴S1+2S2+…+nSn=2[(2+2·22+…+n·2n)-(1+2+…+n)]=2(2+2·22+…+n·2n)-n(n+1),

设Tn=2+2·22+…+n·2n①

则2Tn=22+2·23+…+n·2n+1②

①-②,得-Tn=2+22+…+2n-n·2n+1

=-n·2n+1

=(1-n)2n+1-2,

∴Tn=(n-1)2n+1+2,

∴S1+2S2+…+nSn=2[(n-1)2n+1+2]-n(n+1)

=(n-1)2n+2+4-n(n+1).