Question

如图,四棱柱ABCDA₁B₁C₁D₁的底面ABCD是正方形,O是底面中心,A₁O⊥底面ABCD,AB=AA₁=.

(1)证明:平面A₁BD∥平面CD₁B₁;

(2)求三棱柱ABDA₁B₁D₁的体积.

Answer

(1)见解析 (2)1

【解析】

(1)证明:由题设知,BB1DD1,

∴BB1D1D是平行四边形,

∴BD∥B1D1.

又BD平面CD1B1,

∴BD∥平面CD1B1.

∵A1D1B1C1BC,

∴A1BCD1是平行四边形,

∴A1B∥D1C.

又A1B平面CD1B1,

∴A1B∥平面CD1B1.

又∵BD∩A1B=B,

∴平面A1BD∥平面CD1B1.

(2)解:∵A1O⊥平面ABCD,

∴A1O是三棱柱ABDA1B1D1的高.

又∵AO=AC=1,AA1=,

∴A1O==1.

又∵S△ABD=××=1,

∴=S△ABD×A1O=1.